Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx(a∈R)，g(x)＝(1﹣x)ex.

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）若對任意給定的x0∈[﹣1，1]，在區(qū)間(0，e]上總存在兩個不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）[，+∞)

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分a≤0和a>0兩種情況討論，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）首先利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的值域為[0，1]，根據(jù)（1）可排除a≤0和0＜a的情況，由函數(shù)f(x)的單調(diào)性和圖象分析可知，a滿足以下條件時符合題意，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)求解不等式即可得到結(jié)果.

（1）f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx，x＞0，則f′(x)＝a，

①當(dāng)a≤0時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為減函數(shù)，

②當(dāng)a>0時，令f′(x)＞0得x，令f′(x)＜0得0＜x.

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，+∞)，

綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為減函數(shù)，

當(dāng)a>0時，f(x)在(0，)上為減函數(shù)，在(，+∞)為增函數(shù)；

（2）∵g(x)＝(1﹣x)ex，∴g′(x)＝﹣xex，

當(dāng)x∈[﹣1，0)時，g′(x)>0，當(dāng)x∈(0，1]時，g′(x)<0，

又g(0)＝1，g(1)＝0，g(﹣1)，∴當(dāng)x∈[﹣1，1]時，g(x)的值域為[0，1]，

由（1）可知，①當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0，e]上為減函數(shù)，不滿足題意；

②當(dāng)e，即0＜a時，函數(shù)f(x)在(0，e]上為減函數(shù)，不滿足題意；

③當(dāng)0e時，即a時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上為減函數(shù)，在(，e]上為增函數(shù)，

又x＞0，且x→0時，f(x)→+∞，函數(shù)f(x)的大概圖像如下圖，

故對任意給定的x0∈[﹣1，1]，在區(qū)間(0，e]上總存在兩個不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，

當(dāng)且僅當(dāng)a滿足以下條件，即（*）

令h(a)＝1﹣a+lna，a∈(，+∞)，則h′(a)＝﹣1，

當(dāng)a＜1時，h′(a)＞0，當(dāng)a＞1時，h′(a)＜0，

∴函數(shù)h(a)在(，1)上為增函數(shù)，在(1，+∞)上為減函數(shù)，故h(a)max＝h(1)＝0，

從而（*）等價于，故a，故a的取值范圍為[，+∞)．