Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+φ）＝cosφ（其中φ為常數(shù)，且φ）

（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線l與軌跡C的交點(diǎn)為A，B，兩點(diǎn)，求證：當(dāng)φ變化時，∠AOB的大小恒為定值．

Answer 1

【答案】（1）ρ（2）證明見解析

【解析】

（1）將動點(diǎn)P（x，y）的參數(shù)方程化簡為普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程得到答案。

（2）將直線l與曲線C聯(lián)立，消去ρ得sin（θ+φ）＝cosφ，化簡得到tan2θ+tanφtanθ﹣1＝0，利用韋達(dá)定理計算得到答案。

（1）∵動點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足（t為參數(shù)），

∴動點(diǎn)P的軌跡C的普通方程為y＝x2，又由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴為sinθ＝ρcos2θ

∴動點(diǎn)P的軌跡C的極坐標(biāo)方程為sinθ＝ρcos2θ，即ρ．

（2）證明：將直線l與曲線C聯(lián)立，消去ρ得sin（θ+φ）＝cosφ，

∴得（sinθcosφ+cosθsinφ）＝cosφ，∵φ，∴cosφ≠0，

∴tan2θ+tanφtanθ﹣1＝0，

設(shè)A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2），由韋達(dá)定理得tanθ1tanθ2＝﹣1，即sinθ1sinθ2＝﹣cosθ1cosθ2，

∴cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2＝cos（θ1﹣θ2）＝0，

∴θ1﹣θ2＝kπ，k∈Z

故當(dāng)φ變化時，∠AOB的大小恒為定值．