Question

19．已知z=a+bi（a，b∈R），其中i是虛數(shù)單位，z₁，z₂∈C，定義：D（z）=||z||=|a|+|b|，D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||給出下列命題：
（1）對任意z∈C，都有D（z）＞0
（2）若$\overline z$是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則$D（\overline z）=D（z）$恒成立；
（3）若D（z₁）=D（z₂），則z₁=z₂
（4）對任意z₁，z₂，z₃∈C，結(jié)論D（z₁，z₃）≤D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）恒成立
則其中真命題是（　　）

• A． （1）（3）（4）
• B． （2）（3）（4）
• C． （2）（4）
• D． （2）（3）

Answer 1

分析 （1）取z=0，則D（z）=|0|+|0|=0，即可判斷出正誤；
（2）由于D（$\overrightarrow{z}$）=D（z）=|a|+|b|恒成立，即可判斷出正誤；
（3）取z₁=1+i，z₂=1-i，滿足D（z₁）=D（z₂）（z₁，z₂∈C），但是z₁≠z₂，即可判斷出正誤；
（4）對任意z_k=a_k+b_ki∈C，（a_k，b_k∈R，k=1，2，3），可得D（z₁，z₃）=|a₁-a₃+（b₁-b₃）i|=|a₁-a₃|+|b₁-b₃|，D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）=|a₁-a₂|+|b₁-b₂|+|a₂-a₃|+|b₂-b₃|．利用絕對值不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤．

解答 解：對于（1），當(dāng)z=0時，D（z）=|0|=|0|+|0|=0，命題（1）錯誤；
對于（2），設(shè)z=a+bi，則$\overline{z}$=a-bi，則D（$\overline{z}$）=|$\overrightarrow{z}$|=|a|+|-b|=|a|+|b|=|z|=D（z），命題（2）正確；
對于（3），若D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），則z₁=z₂錯誤，如z₁=1+i，z₂=1-i，滿足D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），但z₁≠z₂；
對于（4），對任意z_k=a_k+b_ki∈C，（a_k，b_k∈R，k=1，2，3），
則D（z₁，z₃）=|a₁-a₃+（b₁-b₃）i|=|a₁-a₃|+|b₁-b₃|，
D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）=|a₁-a₂|+|b₁-b₂|+|a₂-a₃|+|b₂-b₃|．
∵|a₁-a₃|+|b₁-b₃|=|（a₁-a₂）+（a₂-a₃）|+|（b₁-b₂）+（b₂-b₃）|≤|a₁-a₂|+|b₁-b₂|+|a₂-a₃|+|b₂-b₃|．
∴D（z₁，z₃）≤D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）恒成立，是真命題．
∴正確的命題是（2）（4）．
故選：C．

點評 題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了絕對值的不等式，是中檔題