Question

3．已知首項為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，且${a_1}，\frac{3}{2}{a_2}，2{a_3}$成等差數(shù)列；數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且${S_n}={n^2}+n$，n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）已知${c_n}=\frac{{{b_{n+1}}}}{2}•{log_2}{a_n}$，求數(shù)列{$\frac{1}{c_n}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件可知求得q，求出數(shù)列{a_n}的通項公式，再由{b_n}的前n項和公式，寫出{b_n}的通項公式；（Ⅱ）寫出{c_n}再利用列項法，求T_n．

解答 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題知${a_1}=\frac{1}{2}$，又∵${a_1}，\frac{3}{2}{a_2}，2{a_3}$成等差數(shù)列，
∴3a₂=a₁+2a₃，∴$\frac{3}{2}q=\frac{1}{2}+{q^2}$，解得q=1或$q=\frac{1}{2}$，…（2分）
又由{a_n}為遞減數(shù)列，于是$q=\frac{1}{2}$，∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={（{\frac{1}{2}}）^n}$．…（4分）
當(dāng)n=1時，b₁=2，當(dāng)n≥2時${b_n}={s_n}-{s_{n-1}}={n^2}+n-（{{{（{n-1}）}^2}+（{n-1}）}）=2n$
又b₁=2滿足該式∴數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=2n（n∈N^*） …（8分）
（Ⅱ）由于${c_n}=\frac{{{b_{n+1}}}}{2}•{log_2}{a_n}$=-n（n+1）∴$\frac{1}{c_n}=\frac{1}{-n（n+1）}=-（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$…（10分）∴${T_n}=-[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{{（{n-1}）}}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}]=-（{1-\frac{1}{n+1}}）=-\frac{n}{n+1}$
故${T_n}=-\frac{n}{n+1}$（n∈N^*）     …（12分）

點評 本題主要考察求等比等差數(shù)列的通項公式，以及裂項法求前n項和的公式，屬于中檔題．