Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx-（k-3）x+k-2，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，則整數(shù)k的最大值是（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由題意可得xlnx＞（k-3）x-k+2在x＞1時(shí)恒成立，即k＜$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$，令F（x）=$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$，求出導(dǎo)數(shù)，再令m（x）=x-lnx-2，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，由m（3）＜0，m（4）＞0，求得m（x）的零點(diǎn)，判斷符號(hào)，即可得到F（x）的最小值，即可得到k的范圍，進(jìn)而得到k的最大值．

解答 解：由已知得，xlnx＞（k-3）x-k+2在x＞1時(shí)恒成立，即k＜$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$，
令F（x）=$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$，則F′（x）=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$，
令m（x）=x-lnx-2，
則m′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0在x＞1時(shí)恒成立．
所以m（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且m（3）=1-ln3＜0，m（4）=2-ln4＞0，
所以在（1，+∞）上存在唯一實(shí)數(shù)x₀∈（3，4）使m（x）=0，
所以F（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
故F（x）_min=F（x₀）=$\frac{{x}_{0}ln{x}_{0}+3{x}_{0}-2}{{x}_{0}-1}$
=$\frac{{x}_{0}（{x}_{0}-2）+3{x}_{0}-2}{{x}_{0}-1}$=x₀+2∈（5，6）．
故k＜x₀+2（k∈Z），
所以k的最大值為5．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：判斷單調(diào)性，同時(shí)考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，屬于中檔題．