Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²（x+$\frac{π}{8}$）+sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈（0，3π）則下列判斷正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)的一條對(duì)稱軸為$x=\frac{π}{6}$
• B． 函數(shù)在區(qū)間$[{\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}}]$內(nèi)單調(diào)遞增
• C． ?x₀∈（0，3π），使f（x₀）=-1
• D． ?a∈R，使得函數(shù)y=f（x+a）在其定義域內(nèi)為偶函數(shù)

Answer 1

分析 利用降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．

解答 解：f（x）=2cos²（x+$\frac{π}{8}$）+sin（2x+$\frac{π}{4}$）
=1+cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin（2x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}cos2x+1$，x∈（0，3π）．
∵f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}cos\frac{π}{3}+1=\frac{\sqrt{2}}{2}+1$，∴A錯(cuò)誤；
當(dāng)x∈$[{\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}}]$時(shí)，2x∈[π，$\frac{5π}{2}$]，∴B錯(cuò)誤；
由f（x）=-1，得$\sqrt{2}cos2x+1=-1$，即cos2x=$\sqrt{2}$，∴不存在實(shí)數(shù)x使f（x）=-1，C錯(cuò)誤；
當(dāng)$a=\frac{3π}{2}$時(shí)，f（x+a）=f（x$+\frac{3π}{2}$）=$\sqrt{2}cos2（x+\frac{3π}{2}）+1=-\sqrt{2}cos2x+1$為偶函數(shù)，∴D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)值的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．