Question

9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，3），B（3，-3），沿x軸把坐標(biāo)平面折成60°的二面角后線段AB的長(zhǎng)度為（　�。�

• A． 5
• B． 7
• C． 2$\sqrt{13}$
• D． $\sqrt{19}$

Answer 1

分析 作AC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，則$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}$，利用平方法即可得到結(jié)論．

解答 解：作AC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，
則$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}$，
∵A（-1，3），B（3，-3），∴C（-1，0），D（3，0），
∴$|\overrightarrow{AC}|=3$，|$\overrightarrow{CD}$|=4，|$\overrightarrow{DB}$|=3，
∵沿x軸把坐標(biāo)平面折成60°的二面角，
∴＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{DB}$＞=60°，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{DB}$=0，
$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{AC}$=3×3×cos120°=-$\frac{9}{2}$，
∴$\overrightarrow{AB}$²=（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}$）²
=$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{CD}$²+$\overrightarrow{DB}$²+2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CD}$+2$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{DB}$+2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DB}$
=9+9+16+2×（-$\frac{9}{2}$）=25，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=5．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，利用向量法得到$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}$，利用向量數(shù)量積和長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．注意向量法的合理運(yùn)用．