Question

5．現(xiàn)有3個命題：
P₁：函數(shù)f（x）=lgx-|x-2|有2個零點．
P₂：面值為3分和5分的郵票可支付任何n（n＞7，n∈N）分的郵資．
P₃：若a+b=c+d=2，ac+bd＞4，則a、b、c、d中至少有1個為負數(shù)．
那么，這3個命題中，真命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 令f（x）=lgx-|x-2|=0，得到lgx=|x-2|，作出y=lgx，y=|x-2|的圖象可知，它p₁是真命題；用數(shù)學歸納法能證明P₂是真命題；利用反證法能證明P₃為真命題．

解答 解：令f（x）=lgx-|x-2|=0，得到lgx=|x-2|，
作出y=lgx，y=|x-2|的圖象可知，它們有2個交點，
從而函數(shù)f（x）=lgx-|x-2|有2個零點，故p₁是真命題；
P₂：面值為3分和5分的郵票可支付任何n（n＞7，n∈N）分的郵資，是真命題．
用數(shù)學歸納法證明：
①當n=8，9，10時，由8=3+5，9=3+3+3，10=5+5，知命題成立；
②假設(shè)當n=k（k＞7，n∈N）時，命題成立，則k=8+3m，或k=9+3m，或k=10+3m，m∈N^*，
∴當n=k+1時，則n=9+3m，或n=10+3m，或n=11+3m=8+3（m+1），m∈N^*，
∴當n=k+1時，命題成立．
由①②知P₂：面值為3分和5分的郵票可支付任何n（n＞7，n∈N）分的郵資，是真命題．
P₃：若a+b=c+d=2，ac+bd＞4，則a、b、c、d中至少有1個為負數(shù)，是真命題．
用反證法證明：
假設(shè)a，b，c，d沒有1 個為負數(shù)，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，∴ad+bc≥0，
∵a+b=c+d=2，∴（a+b）（c+d）=ac+bd+ad+bc=4，
∵ac+bd＞4，∴ad+bc＜0，
這與ad+bc≥0矛盾，故假設(shè)不成立，
∴若a+b=c+d=2，ac+bd＞4，則a、b、c、d中至少有1個為負數(shù)，
故P₃為真命題．
故選：D．

點評 本題考查命題真假的判斷，涉及到對數(shù)函數(shù)、含絕對值的函數(shù)、數(shù)學歸納法、反證法、作圖法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．