Question

20．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（-c，0）（c＞0）作圓x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{9}$的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支與點P，O為坐標原點．若$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{17}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{17}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），知E為PF的中點，令右焦點為F′，則O為FF′的中點，則|PF′|=2|OE|=$\frac{2}{3}$a，運用雙曲線的定義可得|PF|=|PF′|+2a=$\frac{8}{3}$a，在Rt△PFF′中，|PF|²+|PF′|²=|FF′|²，由此能求出離心率．

解答 解由$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），
可得E為PF的中點，令右焦點為F′，
O為FF′的中點，
則|PF′|=2|OE|=$\frac{2}{3}$a，
由E為切點，
可得OE⊥PF，
即有PF′⊥PF，
由雙曲線的定義可得|PF|-|PF′|=2a，
即|PF|=|PF′|+2a=$\frac{8}{3}$a，
在Rt△PFF′中，|PF|²+|PF′|²=|FF′|²，
即$\frac{64}{9}$a²+$\frac{4}{9}$a²=4c²，即c=$\frac{\sqrt{17}}{3}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直線和圓相切的性質，以及雙曲線的定義和中位線定理，勾股定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．