Question

2．已知圓O：x²+y²=1的切線l與橢圓C：x²+3y²=4相交于A、B、兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得橢圓的a，b，c，由離心率公式可得所求值；
（Ⅱ）討論切線的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C：x²+3y²=4即為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$=1，
可得a=2，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（Ⅱ）證明：若切線l的斜率不存在，則l：x=±1．
在x²+3y²=4中，令x=1得y=±1．
不妨設(shè)A（1，1），B（1，-1），則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1-1=0．可得OA⊥OB；
同理，當(dāng)l：x=-1時(shí)，也有OA⊥OB．
若切線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+m，依題意$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即k²+1=m²．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-4=0．顯然△＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}$．
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=（1+k²）•$\frac{3{m}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}$+km（-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$）+m²
=$\frac{（1+{k}^{2}）（3{m}^{2}-4）-6{k}^{2}{m}^{2}+（1+3{k}^{2}）{m}^{2}}{1+3{k}^{2}}$
=$\frac{4{m}^{2}-4{k}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）-4-4{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=0．
所以O(shè)A⊥OB．
綜上所述，總有OA⊥OB成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，以及向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．