Question

已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，S_n為其前 n項(xiàng)和，且滿足

a

2 n

=S2n-1，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}滿足bn=

1

an•an+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若對(duì)任意的n∈N^*，不等式λTn＜n+8-(-1)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，首項(xiàng)為a₁，然后取n=1，n=2，將等式化成關(guān)于a₁與d的方程組，解之即可；
（2）將數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)得bn=

1

an•an+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），然后進(jìn)行求和，消項(xiàng)后可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立，轉(zhuǎn)化為求解最值即可

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，首項(xiàng)為a₁，
在a_n²=S_2n-1中，令n=1，n=2，
得

a12=S1 a22=S3

，即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

，（4分）
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）bn=

1

an•an+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．
（3）①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．
∵2n+

8

n

≥8，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取“=”，
∴λ＜25（8分）
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，即需不等式
λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立．
∵2n-

8

n

隨n增大而增大，
∴n=1時(shí)，2n-

8

n

取得最小值-6．
∴λ＜-21．（10分）
綜合①、②可得λ的取值范圍是λ＜-21．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解中的應(yīng)用，疊乘法在求解數(shù)列的通項(xiàng)中的應(yīng)用及數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，不等式的恒成立與最值求解的相互轉(zhuǎn)化，具有一定的綜合性