Question

已知△ABC中的周長(zhǎng)為

2

+1，且sinB+sinC=

2

sinA
（1）求邊BC的長(zhǎng)；
（2）若△ABC面積為

1

6

sinA，求角A度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，得b+c=

2

a，與三角形的周長(zhǎng)為

2

+1聯(lián)解可得a=1，即BC的長(zhǎng)為1；
（2）根據(jù)三角形的面積公式算出bc=

1

3

，結(jié)合（1）的結(jié)論b+c=

2

a=

2

，算出b²+c²=

4

3

．再利用余弦定理的式子解出cosA的值，即可得到角A度數(shù)．

解答：解：（1）∵sinB+sinC=

2

sinA
∴由正弦定理，得b+c=

2

a
又∵△ABC的周長(zhǎng)a+b+c=

2

+1，
∴a+

2

a=

2

+1，解之得a=1，即BC的長(zhǎng)為1；
（2）∵△ABC面積為

1

6

sinA，
∴

1

2

bcsinA=

1

6

sinA，可得bc=

1

3

由（1）的結(jié)論，得b+c=

2

a=

2

∴b²+c²=（b+c）²-2bc=

4

3

由余弦定理，得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4 3 -1

2× 1 3

=

1

2

結(jié)合A為三角形的內(nèi)角，可得A=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的周長(zhǎng)和角的關(guān)系式，求邊BC的長(zhǎng)并依此求角的大小．著重考查了正余弦定理解三角形、三角形的面積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．