Question

已知點(diǎn)，點(diǎn)B為（x，ln（x+1）），向量，令，．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出向量，再利用向量的數(shù)量積求出f（x）的表達(dá)式，最后對(duì)其求導(dǎo)，求出f′（1）的值即可得到函數(shù)y=f（x）的解析式；
（II）將原恒成立問題通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成即在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，只要求出左式表示的函數(shù)的最小值即可．最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即得整數(shù)k的最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵．
∴，∴，∴f（x）=ln（x+1）+x．
（Ⅱ）∵時(shí)恒成立，
即在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，
令，所以h（x）的最小值大于k．
∵，記φ（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），則，
∴φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又φ（2）=1-ln3＜0，φ（3）=2-2ln2＞0，
∴φ（x）=0存在唯一實(shí)根a，且滿足a∈（2，3），a=1+ln（a+1）．
當(dāng)x＞a時(shí)，φ（x）＞0，h′（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，φ（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（a）
=，所以k=3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題、函數(shù)的表示方法解析式法等知識(shí)．屬于中檔題．恒成立問題多需要轉(zhuǎn)化，因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)轉(zhuǎn)化才能使恒成立問題等到簡(jiǎn)化．