Question

已知函數(shù)f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）當x∈[1，+∞）時，tf（x）≤2^x-2恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）是奇函數(shù)，依定義f（-x）=-f（x），即

2a-x+a-4

2a-x+a

=-

2ax+a-4

2ax+a

，變形為（a-2）[2a^2x+（a-2）a^x+2]=0對任意x恒成立，a=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=1-

4

2•2x+2

=1-

2

2x+1

，利用函數(shù)性質(zhì)求出值域．
（Ⅲ）當x∈[1，+∞）時，tf（x）≤2^x-2恒成立，得出t≤

(2x-2)•(2x+1)

2x-1

（x≥1）恒成立，只需t小于等于設u(x)=

(2x-2)•(2x+1)

2x-1

=2x-

2

2x-1

(x≥1)的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
又f(x)=

2ax+a-4

2ax+a

∴

2a-x+a-4

2a-x+a

=-

2ax+a-4

2ax+a

，
即（a-2）[2a^2x+（a-2）a^x+2]=0對任意x恒成立，
∴a=2              …（4分）
（Ⅱ）∵y=1-

4

2•2x+2

=1-

2

2x+1

又∵2^x＞0，∴2^x+1＞1
∴0＜

2

2x+1

＜2，-1＜1-

2

2x+1

＜1
∴函數(shù)f（x）的值域（-1，1）…（7分）
（Ⅲ）由題意得，當x≥1時，t(1-

2

2x+1

)≤2x-2
即t•

2x-1

2x+1

≤2x-2恒成立，
∵x≥1，∴2^x≥2，
∴t≤

(2x-2)•(2x+1)

2x-1

（x≥1）恒成立，…（9分）
設u(x)=

(2x-2)•(2x+1)

2x-1

=2x-

2

2x-1

(x≥1)
下證u（x）在當x≥1時是增函數(shù)．
任取x₂＞x₁≥1，則u(x2)-u(x1)=2x2-

2

2x2-1

-2x1+

2

2x1-1

=(2x2-2x1)•(1+

2

(2x1-1)•(2x2-1)

)＞0…（11分）
∴當x≥1時，u（x）是增函數(shù)，
∴u（x）_min=u（1）=0
∴t≤u（x）_min=u（1）=0
∴實數(shù)t的取值范圍為t≤0．…（13分）

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，不等式恒成立含參數(shù)的取值范圍．考查轉化計算、推理論證，參數(shù)分離的方法與能力．