Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過右焦點的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，F(xiàn)₁為左焦點，且$\overrightarrow{{F}_{1}P}$⊥$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式和a，b，c的關(guān)系以及點滿足方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）討論直線l的斜率不存在和存在，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，運用韋達定理，再由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡整理解方程即可得到斜率k，進而得到所求直線方程．

解答 解：（1）根據(jù)題意，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又b²=a²-c²，
代入點A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）當直線l的斜率不存在時，其方程為x=1，經(jīng)驗證，不符合題意；
當直線的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
可得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（x₁+1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₂+1，y₂），
由于$\overrightarrow{{F}_{1}P}$⊥$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，所以且$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=0，
即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（k²-1）（x₁+x₂）+k²+1=（1+k²）•$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$-（k²-1）•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+k²+1
=$\frac{7{k}^{2}-1}{2{k}^{2}+1}$=0解得k=$±\frac{\sqrt{7}}{7}$．
故直線l的方程為x+$\sqrt{7}$y-1=0或為x-$\sqrt{7}$y-1=0．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理，同時考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查運算能力，屬于中檔題．