Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

2

x

．
（1）求證：f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)； 
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，若f（x）≥f（m）恒成立，求正實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可證明f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)； 
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，若f（x）≥f（m）恒成立，則f（m）為函數(shù)的最小值，然后建立方程關(guān)系即可求正實(shí)數(shù)m的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+

2

x

．
∴f'（x）=2x-

2

x2

=

2x3-2

x2

，
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f'（x）≥0，
即函數(shù)f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)； 
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，若f（x）≥f（m）恒成立，
則f（x）_min≥f（m）恒成立，
由（1）知當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，同時(shí)也是在（0，+∞）上的最小值，
即f（1）=1+2=3，
∴若f（x）≥f（m）恒成立，
則f（m）為函數(shù)的最小值，
即正實(shí)數(shù)m=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．