Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB=60°，AB=2，E為AD的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點F，使EF∥平面PDC？并說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的性質(zhì),與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)條件，利用余弦定理和勾股定理推導(dǎo)出AD⊥EB，再由等邊三角形的性質(zhì)推導(dǎo)出AD⊥平面PEB，由此能證明AD⊥PB．
（Ⅱ）以點E為坐標(biāo)原點，EA，EB，EP為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．
（Ⅲ）假設(shè)棱PB上存在點F，使EF∥平面PDC，設(shè)F（0，m，n），

PF

=λ

PB

，利用向量法能求出當(dāng)點F為PB的中點時，EF∥平面PDC．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)EB，在△AEB中，AE=1，AB=2，∠EAB=60°，
∴BE²=AE²+AB²-2AE•AB•cos60°=1+4-2=3．
∵AE²+BE²=AB²，∴AD⊥EB．…（2分）
∵△PAD為等邊三角形，E為AB的中點，∴AD⊥PE．
又∵EB∩PE=E，∴AD⊥平面PEB，∴AD⊥PB．…（4分）
（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，且PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EB．
以點E為坐標(biāo)原點，EA，EB，EP為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
∵△PAD為等邊三角形，∠DAB=60°，AB=2，E為AD的中點．
∴A（1，0，0），B（0，

3

，0），P（0，0，

3

），
D（-1，0，0），

DC

=

AB

=(-1，

3

，0)．
設(shè)平面PCD的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

•

DC

=0，

n

•

DP

=0，
∴

-x+ 3 y=0 x+ 3 z=0

，
令z=-1，則x=

3

，y=1，∴

n

=（

3

，1，-1）．
平面PAD的一個法向量為

EB

=(0，

3

，0)，
∴cos＜

EB

，

n

＞=

3

3 • 5

=

5

5

．
又∵二面角A-PD-C為鈍角，
∴二面角A-PD-C的余弦值為-

5

5

．（8分）
（Ⅲ）假設(shè)棱PB上存在點F，使EF∥平面PDC，
設(shè)F（0，m，n），

PF

=λ

PB

，則：（0，m，n-

3

）=λ（0，

3

，-

3

），
∴m=

3

λ，n=

3

-

3

λ，
∴

EF

=(0，

3

λ，

3

-

3

λ)．∵EF∥平面PDC，
∴

EF

⊥

n

，即（0，

3

λ，

3

-

3

λ）•（

3

，1，-1）=0．
∴

3

λ-

3

+

3

λ=0，解得λ=

1

2

．
∴當(dāng)點F為PB的中點時，EF∥平面PDC．（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查直線與平面平行的動點位置的確定，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，合理運用向量法．