Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax+b在y軸上的截距為1，且曲線上一點P（

2

2

，y₀）處的切線斜率為

1

3

．
（1）曲線在P點處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax+b在y軸上的截距為1，可得b=1．再利用導數(shù)的幾何意義可得切線的向斜率，利用切點可得a，即可得出切線方程．
（2）令f′(x)=x2-

1

6

=0，解得x=±

6

6

，列出表格，即可得出函數(shù)的單調(diào)性極值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax+b在y軸上的截距為1，∴b=1．
又f′（x）=x²-a，曲線上一點P（

2

2

，y₀）處的切線斜率為

1

3

．
∴f′(

2

2

)=

1

2

-a=

1

3

，解得a=

1

6

．
∴f(x)=

1

3

x3-

1

6

x+1．
∴y₀=f(

2

2

)=1，故點P(

2

2

，1)，
∴切線方程為y-1=

1

3

(x-

2

2

)，
即2x-6y+6-

2

=0．
（2）由題意可得，令f′(x)=x2-

1

6

=0，解得x=±

6

6

，列表如下：

x	(-∞，- 6 6 )	- 6 6	(- 6 6 ， 6 6 )	6 6	( 6 6 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增區(qū)間	極大	減區(qū)間	極小	增區(qū)間

∴函數(shù)的極大值為f(-

6

6

)=1+

6

54

，極小值為f(

6

6

)=1-

6

54

．

點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義、切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．