Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c和g（x）=x²-3x+2，若y=f（x）在點x=-1處有極值，且曲線y=f（x）和y=g（x）在交點（0，2）處有公切線．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在R上的極大值與極小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）f′（x）=3x²+2ax+b，g′（x）=2x-3．由題意可得

f′(-1)=0 f′(0)=g′(0)=-3 f(0)=2

，解得即可．
（II）由（I）可得f（x）=x³-3x+2，f′（x）=3（x+1）（x-1），令f′（x）=0，解得x=±1．列表即可得出函數(shù)的單調(diào)性極值．

解答： 解：（I）f′（x）=3x²+2ax+b，g′（x）=2x-3．
由題意可得

f′(-1)=0 f′(0)=g′(0)=-3 f(0)=2

，
即

3-2a+b=0 b=-3 c=2

，解得a=0，b=-3，c=2．
∴a=0，b=-3，c=2．
（II）由（I）可得f（x）=x³-3x+2，f′（x）=3（x+1）（x-1），令f′（x）=0，解得x=±1．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）取得極大值，f（-1）=4．當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值，f（1）=0．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．