Question

設(shè)曲線(xiàn)y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，令a_n=lgx_n，則a₁+a₂+a₂+…+a₉₉₉的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由曲線(xiàn)y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），知y′=（n+1）xⁿ，故f′（1）=n+1，則曲線(xiàn)y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）處的切線(xiàn)方程為y-1=（n+1）（x-1），該切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n=

n

n+1

，故a_n=lgn-lg（n+1），由此能求出a₁+a₂+…+a₉₉．

解答： 解：∵曲線(xiàn)y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴y′=（n+1）xⁿ，∴f′（1）=n+1，
∴曲線(xiàn)y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）處的切線(xiàn)方程為y-1=（n+1）（x-1），
該切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n=

n

n+1

，
∵a_n=lgx_n，
∴a_n=lgn-lg（n+1），
∴a₁+a₂+…+a₉₉
=（lg1-lg2）+（lg2-lg3）+（lg3-lg4）+（lg4-lg5）+（lg5-lg6）+…+（lg99-lg100）
=lg1-lg100=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是中檔題．