Question

如圖，在△ABC中，已知A（-3，0），B（3，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心為
H且．
（Ⅰ）求點(diǎn)H的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)P（-1，0），Q（1，0），那么能否成等差數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）設(shè)直線(xiàn)AH，BH與直線(xiàn)l：x=9分別交于M，N點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C（x，y），由題意得H（x，y），
則，由于AC⊥BH，
于是，
又y=0時(shí)共線(xiàn)，不合題意．故點(diǎn)C的軌跡方程為（y≠0）．
設(shè)點(diǎn)H（x，y），C（x₀，y₀），則（y₀≠0），
由得到點(diǎn)H的軌跡方程為．（4分）
（Ⅱ）設(shè)，則
，，
故=，
所以不能構(gòu)成等差數(shù)列．（9分）
（Ⅲ）設(shè)M（9，m），N（9，n），則A（-3，0），B（3，0），
于是
由A，H，M三點(diǎn)共線(xiàn)得，∴；
由B，H，N三點(diǎn)共線(xiàn)得，又，以MN為直徑的圓的方程為
解得（舍）或．故以MN為直徑的圓必過(guò)橢圓外定點(diǎn)（17，0）．（15分）
分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C（x，y），由題意得H（x，y），則，由于AC⊥BH，于是，又y=0時(shí)共線(xiàn)，不合題意．故點(diǎn)C的軌跡方程為（y≠0）．由此能得到得到點(diǎn)H的軌跡方程為．
（Ⅱ）設(shè)，則，，由此能得到不能構(gòu)成等差數(shù)列．
（Ⅲ）設(shè)M（9，m），N（9，n），則A（-3，0），B（3，0），于是，由A，H，M三點(diǎn)共線(xiàn)得．由B，H，N三點(diǎn)共線(xiàn)得，又，以MN為直徑的圓的方程為，由此能得以MN為直徑的圓必過(guò)橢圓外定點(diǎn)（17，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．