Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且橢圓過點(diǎn).過點(diǎn)做兩條相互垂直的直線、分別與橢圓交于、、、四點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若， ，探究：直線是否過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知，可建立關(guān)于橢圓三個(gè)參數(shù)的方程組進(jìn)行求解，由離心率可得，又點(diǎn)在橢圓上，可得，結(jié)合，從而問題可得解.

（Ⅱ）由題意，可對(duì)直線的斜率分“不存在與0”和“都存在且”兩種情況進(jìn)行分類討論，先對(duì)后一種情況探究，則可設(shè)兩直線的方程分別為， ，逐個(gè)聯(lián)立橢圓方程，分別計(jì)算的中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線的方程，并求得其定點(diǎn)為，再對(duì)前一種情況進(jìn)行驗(yàn)證即可.

試題解析：（Ⅰ）由題意知， ，解得，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）∵， ，∴、分別為、的中點(diǎn).

當(dāng)兩直線的斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，

則直線的方程為， ， ， ， ，

聯(lián)立，得，∴，

∴， ，∴中點(diǎn)的坐標(biāo)為；

同理， 中點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，

∴直線的方程為 ，

即，∴直線過定點(diǎn)；

當(dāng)兩直線的斜率分別為0和不存在時(shí)，則直線的方程為，也過點(diǎn)；

綜上所述，直線過定點(diǎn).