Question

【題目】（本小題滿分16分）

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.

（1）試求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式；

（2）用數(shù)學(xué)納法證明你的猜想，并求出an的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）

∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）

∵a1=1，∴S1=a1=1.

∴S2=，S3==，S4=， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

猜想Sn=（n∈N*）. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分

（2）證明 ①當(dāng)n=1時(shí)，S1=1成立.

②假設(shè)n=k（k≥1,k∈N*）時(shí)，等式成立，即Sk=，

當(dāng)n=k+1時(shí)，

Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，

∴ak+1=，

∴Sk+1=（k+1）2·ak+1==，

∴n=k+1時(shí)等式也成立，得證.

∴根據(jù)①、②可知，對(duì)于任意n∈N*，等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分

又∵ak+1=，∴an=. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列中和的關(guān)系式，得到，進(jìn)而由，即可分別求解得值，歸納猜想的表達(dá)式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法作出證明：第一步，先證明時(shí)，結(jié)論成立，第二步，假設(shè)時(shí)成立，證明時(shí)也成立，即可得到結(jié)論成立．

解：(1)因?yàn)?/span>an＝Sn－Sn－1(n≥2)

所以Sn＝n2(Sn－Sn－1)，所以Sn＝Sn－1(n≥2)

因?yàn)?/span>a1＝1，所以S1＝a1＝1.

所以S2＝，S3＝＝，S4＝，

猜想Sn＝ (n∈N*)．

(2)①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1成立．

②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，等式成立，即Sk＝，

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝ak＋1＋Sk＝ak＋1＋，

所以ak＋1＝，

所以Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝＝.

所以n＝k＋1時(shí)等式也成立，得證．

所以根據(jù)①、②可知，對(duì)于任意n∈N*，等式均成立．

由Sn＝n2an，得＝n2an，所以an＝.