Question

(20)某企業(yè)2003年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元,因設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元.今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,第n年(今年為第一年)的利潤(rùn)為500(1+)萬(wàn)元(n為正整數(shù)).

(Ⅰ)設(shè)從今年起的前n年,若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為A_n萬(wàn)元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為B_n萬(wàn)元(需扣除技術(shù)改造資金),求A_n、B_n的表達(dá)式;

(Ⅱ)依上述預(yù)測(cè),從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)?

Answer 1

(20)本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

解：

(Ⅰ)依題設(shè),A_n=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)

=490n－10n²;

B_n=500［(1+)+(1+)+…+(1+)］－600

=500n－－100.

(Ⅱ)B_n－A_n=(500n－－100)－(490n－10n²)

=10n²+10n－－100

=10［n(n+1)－－10］.

因?yàn)楹瘮?shù)y=x(x+1)－－10在(0,+∞)上為增函數(shù),

當(dāng)1≤n≤3時(shí),n(n+1)－－10≤12－－10<0;

當(dāng)n≥4時(shí),n(n+1)－－10≥20－－10>0.

∴僅當(dāng)n≥4時(shí),B_n>A_n.

答:至少經(jīng)過(guò)4年,該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn).