Question

(本小題滿分14分)  已知為正實(shí)數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn)，設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。

（Ⅰ）用和表示；

（Ⅱ）求對(duì)所有都有成立的的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，比較與

的大小，并說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）3；（3）見解析.

【解析】（1）由已知得，交點(diǎn)A的坐標(biāo)為，對(duì)

則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為：

  ………………4分

（2）由（1）知f(n)=,則

（3）即知，對(duì)于所有的n成立，

特別地，當(dāng)n=1時(shí)，得到a≥3

當(dāng)a=3，n≥1時(shí)，

當(dāng)n=0時(shí)，=2n+1.故a=3時(shí)對(duì)所有自然數(shù)n均成立.

所以滿足條件的a的最小值為3. ………………………………………………8分

（4）由（1）知f(k)=

下面證明：

首先證明0<x<1時(shí)，

設(shè)函數(shù)g(x)=6x(x²-x)+1,0<x<1,  則.

當(dāng)時(shí),g'(x)<0;   當(dāng)

故g（x）在區(qū)間（0，1）上的最小值

所以，當(dāng)0<x<1時(shí)，g（x）>0,即得

由0<a<1知

 

[點(diǎn)評(píng)]本小題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問題的能力.主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)；考查了思維能力、運(yùn)算能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)能力；且又深層次的考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法。