已知a為實數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1＝a，當(dāng)n≥2時，，

(Ⅰ)當(dāng)a＝100時，求數(shù)列{an}的前100項的和S100；

(Ⅱ)證明：對于數(shù)列{an}，一定存在k∈N*，使0＜ak≤3；

(Ⅲ)令，當(dāng)2＜a＜3時，求證：

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由題意知數(shù)列的前34項成首項為100，公差為－3的等差數(shù)列，從第35項開始，奇數(shù)項均為3，偶數(shù)項均為1，從而＝　　(3分)

　�。�　　(5分)

　　(Ⅱ)證明：①若，則題意成立　　(6分)

　�、谌�，此時數(shù)列的前若干項滿足，即

　　設(shè)，則當(dāng)時，

　　從而此時命題成立　　(8分)

　�、廴�，由題意得，則由②的結(jié)論知此時命題也成立

　　綜上所述，原命題成立　　(10分)

　　(Ⅲ)當(dāng)時，因為，

　　所以＝　　(11分)

　　因為＞0，所以只要證明當(dāng)時不等式成立即可

　　而

　　　　(13分)

　�、佼�(dāng)時，

　　

　　　　(15分)

　　②當(dāng)時，由于＞0，所以＜

　　綜上所述，原不等式成立　　(16分)


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a為實數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1=a，當(dāng)n≥2時an=
an-1-3，(an-1＞3)
4-an-1，(an-1≤3)
，
（Ⅰ）當(dāng)a=100時，求數(shù)列{an}的前100項的和S100；
（Ⅱ）證明：對于數(shù)列{an}，一定存在k∈N*，使0＜ak≤3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a為實數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1=a，當(dāng)n≥2時，an=
an-1-3，(an-1＞3)
4-an-1，(an-1≤3)
，
（Ⅰ）當(dāng)a=100，時，求數(shù)列{an}的前100項的和S100；
（Ⅱ）證明：對于數(shù)列{an}，一定存在k∈N*，使0＜ak≤3；
（Ⅲ）令bn=
an
2n-(-1)n
，當(dāng)2＜a＜3時，求證：
n
i=1
bi＜
20+a
12
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a為實數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1=a，當(dāng)n≥2時，an=
an-1-3     (an-1＞3)
4-an-1    (an-1≤3)
，
（1）當(dāng)a=100時，填寫下列列表格：
n 2 3 35 100
an
（2）當(dāng)a=100時，求數(shù)列{an}的前100項的和S100；
（3）令bn=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2+…+bn，求證：當(dāng)1＜a＜
4
3
時，Tn＜
4-3a
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•大連二模）已知a為實數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1=a，當(dāng)n≥2時，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）當(dāng)a=200時，填寫下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）當(dāng)a=200時，求數(shù)列{an}的前200項的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求證：當(dāng)1＜a＜
5
3
時，T n＜
5-3a
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知a為實數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1=a，當(dāng)n≥2時，數(shù)學(xué)公式，
（1）當(dāng)a=100時，填寫下列列表格：
n2335100
an
（2）當(dāng)a=100時，求數(shù)列{an}的前100項的和S100；
（3）令數(shù)學(xué)公式，求證：當(dāng)數(shù)學(xué)公式時，數(shù)學(xué)公式．

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