Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥AD，面PAD⊥面ABCD，PA=AD=2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點，
（1）求證：PB∥面EFG；
（2）求異面直線EG與BD所成角的余弦；
（3）線段CD上是否存在點Q，使A到平面EFQ的距離為0.8？若存在，求出CQ長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PB∥平面EFG．
（2）由

EG

=（1，2，-1），

BD

=（-2，2，0），利用向量法能求出異面直線EG與BD所成角的余弦值．
（3）假設線段CD上存在點Q，使A到平面EFQ的距離為0.8，設CQ長為t，則Q（2-t，2，0），由此利用向量法能推導出線段CD上不存在點Q，使A到平面EFQ的距離為0.8．

解答： （1）證明：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，
AP為z軸，建立空間直角坐標系，
則P（0，0，2），B（2，0，0），E（0，0，1），
D（0，2，0），F(xiàn)（0，1，1），G（1，2，0），

PB

=（2，0，-2），

EF

=（0，1，0），

EG

=（1，2，-1），
設平面EFG的法向量

m

=（x，y，z），
則

m • EF =y=0 m • EG =x+2y-z=0

，
取x=1，得

m

=（1，0，1），
∵

PB

•

m

=2+0-2=0，PB不包含于平面EFG，
∴PB∥平面EFG．
（2）解：

EG

=（1，2，-1），

BD

=（-2，2，0），
|cos＜

EG

，

BD

＞|=|

-2+4+0

6 × 8

|=

3

6

．
∴異面直線EG與BD所成角的余弦值為

3

6

．
（3）解：假設線段CD上存在點Q，使A到平面EFQ的距離為0.8，
設CQ長為t，則Q（2-t，2，0），

EF

=（0，1，0），

EQ

=（2-t，2，-1），
設平面EFQ的法向量

n

=（a，b，c），
則

EF • n =b=0 EQ • n =(2-t)a+2b-c=0

，取a=1，得

n

=(1，0，2-t)，
∵

AE

=（0，0，1），A到平面EFQ的距離為0.8，
∴

| AE • n |

| n |

=

|2-t|

1+(2-t)2

=0.8，
整理，得39t²+36t+20=0，
△=36²-80×39＜0，
∴t不存在，即線段CD上不存在點Q，使A到平面EFQ的距離為0.8．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查線段CD上是否存在點Q，使A到平面EFQ的距離為0.8的判斷與求法，解題時要注意向量法的合理運用．