Question

9．設(shè)函數(shù)$f（x）=alnx+\frac{{2{a^2}}}{x}$（a≠0）．
（1）已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）在（1）的條件下，求證：任意x＞0，都有f（x）≥3-x．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的表達(dá)式（a≠0），知f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，求出f′（x），再由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，知f′（1）=a-2a²=2-3a，由此能求出a．
（2）由f′（x）的表達(dá)式，利用a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能夠得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（3）由（1）知，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，設(shè)g（x）=f（x）-（3-x），則g（x）=lnx+$\frac{2}{x}$+x-3，求出g′（x），x＞0．列表討論，能夠證明對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（x）≥3-x．

解答 解：（1）∵f（x）=alnx+$\frac{{2a}^{2}}{x}$（a≠0），
∴f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{2a}^{2}}{{x}^{2}}$，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，
∴f′（1）=a-2a²=2-3a，
解得a=1．
（2）f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{2a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{a（x-2a）}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a＜0時(shí)，∵x＞0，∴x-2a＞0，a（x-2a）＜0，
∴f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＞0時(shí)，若0＜x＜2a，則a（x-2a）＜0，f′（x）＜0，
函數(shù)f（x）在（0，2a）上單調(diào)遞減；
若x＞2a，則a（x-2a）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)在（2a，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，2a）上單調(diào)遞減，在（2a，+∞）上單調(diào)遞增．
證明：（3）由（1）知，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，
設(shè)g（x）=f（x）-（3-x），則g（x）=lnx+$\frac{2}{x}$+x-3，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+1=$\frac{（x-1）（x+2）}{{x}^{2}}$，x＞0
當(dāng)x變化時(shí)，g′（x），g（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↓	極小值	↑

∴x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，
從而也是g（x）的最小值點(diǎn)，
∴g（x）≥g（1）=ln1+2+1-3=0，
∴g（x）=f（x）-（3-x）≥0，
∴對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（x）≥3-x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．