Question

20．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f（x）=2^x+1+l．
（1）求f（1）的解析式；
（2）在所給的坐標系內(nèi)畫出函數(shù)f（x）的草圖，并求方程2f（x）-m-l=0恰有兩個不同實根時實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式．
（2）由題意可得f（x）=$\frac{m+1}{2}$恰有兩個不同實根，即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=$\frac{m+1}{2}$恰有兩個不同的交點，數(shù)形結(jié)合可得m的范圍．

解答 解：（1）設x＞0，則-x＜0，∵當x≤0時，f（x）=2^x+1+l，
∴f（-x）=2^1-x+1=f（x），∴f（x）=2^1-x+1．
綜上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x+1}+1，x≤0}\\{{2}^{-x+1}+1，x＞0}\end{array}\right.$
（2）在所給的坐標系內(nèi)畫出函數(shù)f（x）的草圖，如圖所示：
方程2f（x）-m-l=0恰有兩個不同實根，即f（x）=$\frac{m+1}{2}$恰有兩個不同實根，
即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=$\frac{m+1}{2}$恰有兩個不同的交點，
故有1＜$\frac{m+1}{2}$＜3，求得3＜m＜7，即實數(shù)m的取值范圍為（3，7）．

點評 本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．