Question

18．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P（2，0）和Q（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線l₁與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l₂與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且l₁∥l₂，是否存在常數(shù)λ，使得|AB|²=λ|MN|？若存在，請(qǐng)求出λ的值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）運(yùn)用離心率公式和內(nèi)切圓的性質(zhì)以及三角形的面積公式，計(jì)算即可得到a，b，c，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，再設(shè)直線x=my，代入橢圓方程，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)可得|AB|，再由計(jì)算即可得到所求常數(shù)λ．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）
由題意可得a=2，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{^{2}}$=1，
可得b=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)l的方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由直線與橢圓方程，聯(lián)立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
即有y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{6m}{4+3{m}^{2}}）^{2}-4•（-\frac{9}{4+3{m}^{2}}）}$=$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$，
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由x=my代入橢圓方程可得
消去x，并整理得y²=$\frac{12}{4+3{m}^{2}}$
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₃-y₄|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$
即有|AB|²=4|MN|．
故存在常數(shù)λ=4，使得|AB|²=4|MN|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查弦長(zhǎng)的求法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．