Question

4．向量滿足$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，若$\overrightarrow c$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$共線，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$|的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow$=（0，2）．由$\overrightarrow c$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$共線，可得$\overrightarrow{c}$=λ（2，-2）．利用向量的模的計算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow$=（0，2）．
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（2，-2）．
∵$\overrightarrow c$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$共線，
∴$\overrightarrow{c}$=λ（2，-2）=（2λ，-2λ）．
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$=（2+2λ，-2λ）．
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（2+2λ）^{2}+（-2λ）^{2}}$=$2\sqrt{2（λ+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，當(dāng)$λ=-\frac{1}{2}$時q取等號，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了向量共線定理、向量的模的計算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．