已知函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，對(duì)于任意的x，y∈（-1，1），有數(shù)學(xué)公式，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0；
（1）判斷f（x）的奇偶性并說(shuō)明理由；
（2）若數(shù)學(xué)公式，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（3）若數(shù)學(xué)公式，試解關(guān)于x的方程數(shù)學(xué)公式．

解：（1）令x=y=0，
∴f（0）=0，令y=-x，有f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（x）為奇函數(shù)
（2）∵，
即，
解得．
（3）任間區(qū)間（-1，1）上兩個(gè)數(shù)x1，x2，且x1＜x2，
則x1-x2＜0，1-x1•x2＞0
∴＜0
即f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=F（）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)
∵
原方程即為，
∴
又∵
故原方程的解為．
分析：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，令y=-x，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可判斷f（x）的奇偶性
（2）由已知可得，解方程組可得f（a），f（b）的值．
（3）先根據(jù)已知證明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合（1）中函數(shù)的奇偶性，將抽象方程具體化，進(jìn)而可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，抽象函數(shù)，難度中檔．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，對(duì)于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0．
（Ⅰ）驗(yàn)證函數(shù)f(x)=ln
1-x
1+x
是否滿足這些條件；
（Ⅱ）判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和其單調(diào)性，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在R上，并且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y時(shí)，f（x）≠f（y），x＞0時(shí)，有f（x）＞0．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解關(guān)于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•連云港二模）已知函數(shù)f（x）定義在正整數(shù)集上，且對(duì)于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2009）=
4018
4018
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時(shí)，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又?jǐn)?shù)列{an}滿足：a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
．
（I）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（II）求f（an）關(guān)于n的函數(shù)解析式；
（III）令g（n）=f（an）且數(shù)列{an}滿足bn=
1
g(n)
，若對(duì)于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在R上，對(duì)任意的x∈R，f(x+1001)=
2
f(x)
+1
，已知f（11）=1，則f（2013）=
 
．

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