Question

16．設(shè)有如下兩個(gè)命題：
①：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集是R；
②：函數(shù)f（x）=x³+4ax-2在（1，+∞）上是增函數(shù)．
已知“命題①或命題②”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求出①②都為真命題時(shí)的等價(jià)條件，然后根據(jù)復(fù)合命題真假之間的關(guān)系先求出①和②都為假命題的范圍，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集是R，
∴△＜0，即（a-1）²-4a²=-3a²-2a+1＜0，
即3a²+2a-1＞0，得a＞$\frac{1}{3}$或a＜-1，
從而①為假時(shí)-1≤a≤$\frac{1}{3}$，
∵函數(shù)f（x）=x³+4ax-2在（1，+∞）上是增函數(shù)
∴f′（x）=3x²+4a≥0在（1，+∞）上恒成立，即a≥-$\frac{3}{4}$x²，
∵-$\frac{3}{4}$x²＜-$\frac{3}{4}$，
故a≥-$\frac{3}{4}$，
從而②為假時(shí)a＜-$\frac{3}{4}$，
∴①和②都為假命題時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{3}}\\{a＜-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，即-1≤a＜-$\frac{3}{4}$，
∴“命題①或命題②”為真命題：a＜-1或a≥-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的判斷和應(yīng)用，根據(jù)條件求出①和②都為假命題的范圍是解決本題的關(guān)鍵．