Question

已知A={x|log₂（4x）•log₄

4

x2

≥2}，g（x）=

4x

4x+1

（Ⅰ）求出集合A；
（Ⅱ）判斷g（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；
（Ⅲ）當λ為何值時，方程g（x）=λ在x∈A上有實數(shù)解？

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,對數(shù)的運算性質(zhì),根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出集合A中的不等式的解集，即得集合A；
（Ⅱ）用單調(diào)性的定義證明g（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）由g（x）的單調(diào)性，求出g（x）在[

1

2

，1]上的最值，即可得出λ的取值范圍是什么時，方程g（x）=λ在x∈A上有實數(shù)解．

解答： 解：（Ⅰ）集合A中的不等式可化為（2+log₂x）（1-log₂x）≥2，
整理得，log22x+log₂x≤0；
解得，-1≤log₂x≤0，
∴

1

2

≤x≤1；
∴A=[

1

2

，1]；
（Ⅱ）g（x）的定義域為R，
設(shè)x₁＞x₂，則4x1-4x2＞0；
∴g（x₁）-g（x₂）=

4x1

4x1+1

-

4x2

4x2+1

=

4x1-4x2

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
∴g（x）在R上是增函數(shù)．
（Ⅲ）當x∈[

1

2

，1]時，g（x）是增函數(shù)，
∴當x=

1

2

時，g（x）_min=

2

3

；當x=1時，g（x）_max=

4

5

；
∴當

2

3

≤λ≤

4

5

時，方程g（x）=λ在x∈A上有實數(shù)解．

點評：本題考查了函數(shù)與不等式和方程的解法與應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求不等式的解集，求函數(shù)的最值，從而判定方程的解是否存在，是綜合性題目．