Question

（2011•佛山二模）已知平面直角坐標(biāo)系上的三點A（0，1），B（-2，0），C（cosθ，sinθ）（θ∈（0，π）），且

BA

與

OC

共線．
（1）求tanθ；
（2）求sin(2θ-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由A，B及C的坐標(biāo)，表示出

BA

與

OC

的坐標(biāo)，根據(jù)兩向量共線時滿足的條件列出關(guān)系式，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切，即可求出tanθ的值；
（2）由tanθ的值大于0及θ的范圍，得到θ為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系列出關(guān)于sinθ和cosθ方程組，求出方程組的解得到sinθ和cosθ的值，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式分別表示出sin2θ和cos2θ，將求出的sinθ和cosθ的值代入求出sin2θ和cos2θ的值，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡所求的式子后，將sin2θ和cos2θ的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵A（0，1），B（-2，0），C（cosθ，sinθ），
∴

BA

=（2，1），

OC

=（cosθ，sinθ），
∵

BA

與

OC

共線，
∴

2

cosθ

=

1

sinθ

，即2sinθ-cosθ=0，
則tanθ=

1

2

；
（2）∵tanθ=

1

2

＞0，θ∈（0，π），
∴θ∈（0，

π

2

），
由

tanθ= sinθ cosθ = 1 2 sin2θ+cos2θ=1

，得sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2×

5

5

×

2 5

5

=

4

5

；cos2θ=cos²θ-sin²θ=（

2 5

5

）²-（

5

5

）²=

3

5

，
則sin（2θ-

π

4

）=sin2θcos

π

4

-cos2θsin

π

4

=

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=

2

10

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，共線向量的坐標(biāo)表示，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．