Question

3．在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t為參數(shù)，0≤α＜\frac{π}{2}）$，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}（0≤θ＜2π）$，若直線與y軸正半軸交于點(diǎn)M，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程及點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)t_M（用α表示）；
（Ⅱ）設(shè)曲線C的左焦點(diǎn)為F₁，若|F₁B|=|AM|，求直線l的傾斜角α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，得ρ²+2ρ²sin²θ=3，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；由題意可知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為0，代入$x=-\sqrt{2}+tcosα=0$，由此能求出點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)t_M．
（Ⅱ）直線過定點(diǎn)${F_1}（-\sqrt{2}，0）$，將$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t為參數(shù)，0≤α＜\frac{π}{2}）$代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，得$（1+2{sin^2}α）{t^2}-2\sqrt{2}cosαt-1=0$，由此利用|F₁B|=|AM|，能求出直線l的傾斜角α的值．

解答 解：（Ⅰ）由${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$得ρ²+2ρ²sin²θ=3，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．…（2分），
又由題意可知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為0，
代入$x=-\sqrt{2}+tcosα=0$，∴${t_M}=\frac{{\sqrt{2}}}{cosα}$…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線過定點(diǎn)${F_1}（-\sqrt{2}，0）$，
將$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t為參數(shù)，0≤α＜\frac{π}{2}）$代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
化簡(jiǎn)可得$（1+2{sin^2}α）{t^2}-2\sqrt{2}cosαt-1=0$，
設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
∵|F₁B|=|AM|，∴|t₁+t₂|=|t_M|，sinα=$±\frac{1}{2}$，
∴0$≤α＜\frac{π}{2}$，∴α=$\frac{π}{6}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查角的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．