Question

已知{a_n}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₅=45，a₂+a₆=14．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：

b1

2

+

b2

22

+…+

bn

2n

=an+1（n∈N*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題設(shè)d＞0．運(yùn)用已知條件列方程組可求a₁，d，從而可得a_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

bn

2n

，則c₁+c₂+…+c_n=a_n+1，易求c_n，進(jìn)而可得b_n，由等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題設(shè)d＞0．
由a₂+a₆=14，可得a₄=7．
由a₃a₅=45，得（7-d）（7+d）=45，可得d=2．
∴a₁=7-3d=1．
可得a_n=2n-1．
（Ⅱ）設(shè)c_n=

bn

2n

，則c₁+c₂+…+c_n=a_n+1，
即c₁+c₂+…+c_n=2n，
可得c₁=2，且c₁+c₂+…+c_n+c_n+1=2（n+1）．
∴c_n+1=2，可知c_n=2（n∈N*）．
∴b_n=2ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．
∴前n項(xiàng)和S_n=

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．