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已知函數f（x）定義在自然數集上，且對任意x∈N*都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（1）=1999，求f（1999）的值．
分析：要求f（1999）的值，我們肯定要利用函數的周期性，故關鍵我們要探究函數的周期，由f（x）=f（x-1）+f（x+1），變形后得：f（x+1）=f（x）-f（x-1），則f（x+6）=f（x+5）-f（x+4）=f（x+4）-f（x+3）-f（x+4）=-f（x+3）=-（f（x+2）-f（x+1））=-（f（x+1）-f（x）-f（x+1））=f（x），即函數的最小正周期為T，由此易得f（1999）的值．
解答：解：∵f（x）=f（x-1）+f（x+1），
∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
∴f（x+6）=f（x+5）-f（x+4）
=f（x+4）-f（x+3）-f（x+4）
=-f（x+3）
=-（f（x+2）-f（x+1））
=-（f（x+1）-f（x）-f（x+1））
=f（x）
即f（x）為周期為6的周期函數
則f（1999）=f（3×666+1）=f（1）=1999
故答案為：1999
點評：我們要求抽象函數的函數值，而自變量均大時，一般我們要用到函數的周期性，求函數的最小正周期是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義在（-1，1）上，對于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，且當x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）驗證函數f(x)=ln
1-x
1+x
是否滿足這些條件；
（Ⅱ）判斷這樣的函數是否具有奇偶性和其單調性，并加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義在R上，并且對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y時，f（x）≠f（y），x＞0時，有f（x）＞0．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解關于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•連云港二模）已知函數f（x）定義在正整數集上，且對于任意的正整數x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2009）=
4018
4018
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又數列{an}滿足：a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
．
（I）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數；
（II）求f（an）關于n的函數解析式；
（III）令g（n）=f（an）且數列{an}滿足bn=
1
g(n)
，若對于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義在R上，對任意的x∈R，f(x+1001)=
2
f(x)
+1
，已知f（11）=1，則f（2013）=
 
．

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