Question

4．在直角坐標系xOy中，動圓M與圓${O_1}：{x^2}+2x+{y^2}=0$外切，同時與圓${O_2}：{x^2}+{y^2}-2x-24=0$內(nèi)切．
（1）求動圓圓心M的軌跡方程；
（2）設動圓圓心M的軌跡為曲線C，設A，P是曲線C上兩點，點A關于x軸的對稱點為B（異于點P），若直線AP，BP分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值．

Answer 1

分析 （1）求出兩個圓的圓心與半徑，設動圓圓心M（x，y），推出|MO₁|+|MO₂|=6＞|O₁O₂|，由橢圓定義知，圓心M的軌跡為橢圓，求解動圓圓心M的軌跡方程即可．
（2）設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），S（x_S，0），T（x_T，0），則B（x₁，-y₁），求出：|OS|•|OT|的表達式，通過P（x₀，y₀）和A（x₁，y₁）在橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$上，化簡求解即可．

解答 解：（1）由圓${O_1}：{x^2}+2x+{y^2}=0$，得（x+1）²+y²=1，所以O₁（-1，0），半徑為1；由圓${O_2}：{x^2}+{y^2}-2x-24=0$，得（x-1）²+y²=25，所以O₂（1，0），半徑為5，設動圓圓心M（x，y），半徑為R，因為⊙M與⊙O₁外切，所以|MO₁|=R+1，又因為⊙M與⊙O₂外切，所以|MO₂|=5-R，將兩式相加得|MO₁|+|MO₂|=6＞|O₁O₂|，由橢圓定義知，圓心M的軌跡為橢圓，且2a=6，c=1，則a²=9，b²=8，所以動圓圓心M的軌跡方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$．
（2）證明：設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），S（x_S，0），T（x_T，0），則B（x₁，-y₁），由題意知x₀≠±x₁．則${k_{AP}}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{{{x_1}-{x_0}}}$，直線AP方程為y-y₁=k_AP（x-x₁），令y=0，得${x_S}=\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{y_1}-{y_0}}}$，同理${x_T}=\frac{{{x_0}（{-{y_1}}）-{x_1}{y_0}}}{{（{-{y_1}}）-{y_0}}}=\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{y_1}+{y_0}}}$，于是$|{OS}|•|{OT}|=|{{x_S}{x_T}}|=|{\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{y_1}-{y_0}}}•\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{y_1}+{y_0}}}}|=|{\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{y_1}^2-{y_0}^2}}}|$，
又P（x₀，y₀）和A（x₁，y₁）在橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$上，故${y_0}^2=8（{1-\frac{{{x_0}^2}}{9}}），{y_1}^2=8（{1-\frac{{{x_1}^2}}{9}}）$，則${y_1}^2-{y_0}^2=\frac{8}{9}（{{x_0}^2-{x_1}^2}），{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2=8{x_0}^2（{1-\frac{{{x_1}^2}}{9}}）-8{x_1}^2（{1-\frac{{{x_0}^2}}{9}}）=8（{{x_0}^2-{x_1}^2}）$．
所以$|{OS}|•|{OT}|=|{\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{y_1}^2-{y_0}^2}}}|=|{\frac{{8（{{x_0}^2-{x_1}^2}）}}{{\frac{8}{9}（{{x_0}^2-{x_1}^2}）}}}|=9$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，橢圓的簡單性質(zhì)的應用，圓錐曲線有關的定值問題的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，設而不求方法的應用，考查分析問題解決問題的能力．