Question

9．如圖，矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M為DC的中點，將△DAM沿AM折到△D′AM的位置，AD′⊥BM．
（1）求證：平面D′AM⊥平面ABCM；
（2）若E為D′B的中點，求二面角E-AM-D′的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出∠AMB=90°，D'A⊥BM，從而BM⊥面D'AM，由此能證明面ABCM⊥面D'AM．
（Ⅱ）在平面D'AM內(nèi)過M作直線NM⊥MA，以M為原點，$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{MN}$分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-AM-D'的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）由題知，在矩形ABCD中，∠AMD=∠BMC=45°，
∴∠AMB=90°，
又D'A⊥BM，∴BM⊥面D'AM，
∵BM?面ABCM，
∴面ABCM⊥面D'AM；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面D'AM內(nèi)過M作直線NM⊥MA，則NM⊥平面ABCM，
故以M為原點，$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{MN}$分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則M（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D'（1，0，1），
于是$E（\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{MA}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{ME}=（\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}）$，
設(shè)平面EAM的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}2x=0\\ \frac{1}{2}x+y+\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$令y=1，得平面EAM的一個法向量$\overrightarrow m=（0，1，-2）$，
平面D'AM的一個法向量為$\overrightarrow n=（0，1，0）$，
故$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，
即二面角E-AM-D'的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查二面角及直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．