Question

已知數(shù)列滿足，，，且．

（1）求證：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）如果表示不超過的最大整數(shù)，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意構(gòu)造新數(shù)列，利用證明新數(shù)列的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比為常數(shù)即可；（2）利用分組求和法與錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和；（3）找出的通項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行求解.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，

則 當(dāng)時(shí)，．

因?yàn)?，

所以 為常數(shù)．

因?yàn)?，

所以 數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列． 4分

（2）由（1）知 時(shí)為首項(xiàng)為，公比為的是等比數(shù)列，

所以． ．

設(shè)，

則．

相減得．

設(shè)，

．

即． 9分

（3）由（1）可知．

設(shè)，

由二項(xiàng)式定理可知為整數(shù)，

所以 ．

所以.

考點(diǎn)：1.數(shù)列的遞推公式；2.等差數(shù)列；3.錯(cuò)位相減法；4.二項(xiàng)式定理.