Question

如圖在四棱錐P-ABCD中側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形．其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一點
①若CD∥平面PBO 試指出O的位置并說明理由
②求證平面PAB⊥平面PCD
③若PD=BC=1，AB=2

2

，求P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：①CD∥平面PBO，推出BO∥CD得到AD=3BC，點O的位置滿足AO=2OD；
②要證平面AB⊥平面PCD，只需證明平面PCD內(nèi)的直線PD，垂直平面PABPD內(nèi)的兩條相交直線AB、PA即可；
③過P作PE⊥AD，可得PE⊥底面ABCD，再利用四棱錐體積公式，即可得出結(jié)論．

解答：①解：因為CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，
所以BO∥CD
又BC∥AD，
所以四邊形BCDO為平行四邊形，則BC=DO，
而AD=3BC，故點O的位置滿足AO=2OD．
②證明：因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，且AB⊥交線AD，
所以AB⊥平面PAD，則AB⊥PD又PA⊥PD，
且PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA=A，
所以PD⊥平面PAB，PD?平面PCD，
所以：平面PAB⊥平面PCD；
③解：過P作PE⊥AD，
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PE⊥底面ABCD，
∵PD=1，AD=3BC，棱PA⊥PD，
∴PA=2

2

∴PE=

2 2

3

∵AB=2

2

，∠BAD=90°
∴P-ABCD的體積為

1

3

•

1

2

•(1+3)•2

2

•

2 2

3

=

16

9

．

點評：本題考查線面平行，考查面面垂直，考查四棱錐體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．