Question

11．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}sin\frac{ωx}{2}cos\frac{ωx}{2}+6{cos^2}\frac{ωx}{2}$-3（ω＞0）
（1）若$y=f（x+θ）（0＜θ＜\frac{π}{2}）$是最小正周期為π的偶函數(shù)，求ω和θ的值；
（2）若g（x）=f（3x）在$（0，\frac{π}{3}）$上是增函數(shù)，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式ω，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，求θ的值．
（2）根據(jù)g（x）=f（3x）求出g（x）的解析式，g（x）在$（0，\frac{π}{3}）$上是增函數(shù)，可得$\left\{\begin{array}{l}3ω×0+\frac{π}{3}≥2kπ-\frac{π}{2}\\ 3ω×\frac{π}{3}+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}k≤\frac{5}{12}\\ ω≤2k+\frac{1}{6}\end{array}\right.（k∈Z）$，即可求解ω的最大值．

解答 解：（1）由$f（x）=2\sqrt{3}sin\frac{ωx}{2}cos\frac{ωx}{2}+6{cos^2}\frac{ωx}{2}-3$=2$\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{3}）$（ω＞0）
∵$f（x+θ）=2\sqrt{3}sin（ωx+ωθ+\frac{π}{3}）$
又∵y=f（x+θ）是最小正周期為π的偶函數(shù)，
∴$\frac{2π}{ω}=π$，即ω=2，且$2θ+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$，解得：$θ=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}（k∈Z）$
∵$0＜θ＜\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)l=0時(shí)，$θ=\frac{π}{12}$．
故得$ω=2\;，θ=\frac{π}{12}$為所求；
（2）g（x）=f（3x），即g（x）=2$\sqrt{3}sin（3ωx+\frac{π}{3}）$（ω＞0）
∵g（x）在$（0，\frac{π}{3}）$上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}3ω×0+\frac{π}{3}≥2kπ-\frac{π}{2}\\ 3ω×\frac{π}{3}+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}k≤\frac{5}{12}\\ ω≤2k+\frac{1}{6}\end{array}\right.（k∈Z）$，
∵ω＞0，
∴$2k+\frac{1}{6}＞0$，
故得$-\frac{1}{12}＜k＜\frac{5}{12}$，
于是k=0，∴$0＜ω≤\frac{1}{6}$，即ω的最大值為$\frac{1}{6}$，此時(shí)$g（x）=2\sqrt{3}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$．
故得ω的最大值為$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．