Question

已知拋物線C₁：x²=y，圓C₂：x²+（y-4）²=1的圓心為點M．
（1）求點M到拋物線C₁的準線的距離；
（2）已知點P是拋物線C₁上一點（異于原點），過點P作圓C₂的兩條切線，交拋物線C₁于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）圓心M（0，4），拋物線C₁的準線為y=-

1

4

，易求距離；
（2）設(shè)P（x₀，x₀²），A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），設(shè)過點P的圓C₂的切線方程為y-x₀²=k（x-x₀），即kx-y-kx₀+x₀²=0①，則d=r=1⇒（ x₀²-1）k²+2 x₀（4-x₀²）k+（ x₀²-4）²-1=0，設(shè)PA，PB的斜率為k₁，k₂（k₁≠k₂），則k₁，k₂是上述方程的兩根，聯(lián)立①與x²=y得x²-kx+kx₀-x₀²=0，由韋達定理及k_AB•K_MP=-1可求得x₀，進而得到點P坐標；

解答： 解：（1）圓心M（0，4），拋物線C₁的準線為y=-

1

4

，
∴點M到拋物線C₁的準線的距離為4-（-

1

4

）=

17

4

．
（2）設(shè)P（x₀，x₀²），A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
則由題意得x₀≠0，x₀≠±1，x₁≠x₂，
設(shè)過點P的圓C₂的切線方程為y-x₀²=k（x-x₀），即kx-y-kx₀+x₀²=0①，
則d=r=1⇒（ x₀²-1）k²+2 x₀（4-x₀²）k+（ x₀²-4）²-1=0，
設(shè)PA，PB的斜率為k₁，k₂（k₁≠k₂），則k₁，k₂是上述方程的兩根，
∴k₁+k₂=

2x0(x02-4)

x02-1

，k₁•k₂=

(x02-4)2-1

x02-1

，
將①代入x²=y得x²-kx+kx₀-x₀²=0，
由于x₀是此方程的根，點A或B是過點P作圓C₂的兩條切線與拋物線C₁相交的交點，
故x₀+x₁=k₁，x₀+x₂=k₂，⇒x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀，
∴k_AB=

x12-x22

x1-x2

=x₁+x₂=k₁+k₂-2x₀=

2x0(x02-4)

x02-1

-2x₀，
又K_MP=

x02-4

x0

，
∵MP⊥AB，∴k_AB•K_MP=[

2x0(x02-4)

x02-1

-2x₀]•（

x02-4

x0

）=-1，
⇒

-6x0

x02-1

•

x02-4

x0

=-1，解 x02=

23

5

，
∴點P的坐標為（±

115

5

，

23

5

）．

點評：本題考查拋物線圓的方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查方程思想，考查學(xué)生綜合運用知識分析解決問題的能力，綜合性強，難度大．