Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD和側(cè)面BCC₁B₁都是矩形，E是CD的中點，D₁E⊥CD，AB=2BC=2．
（1）求證：BC⊥D₁E；
（2）若AA₁=

2

，求三棱錐D₁-B₁CB的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱的結(jié)構(gòu)特征,棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：轉(zhuǎn)化思想,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出BC⊥CD，BC⊥CC₁，從而得到BC⊥平面DCC₁D₁，由此能夠證明BC⊥D₁E．
（2）DD₁∥B₁BCC₁，三棱錐D₁-B₁CB的體積等于三棱錐D-B₁CB的體積，就是三棱錐B₁-DCB的體積，B₁到底面DCB的距離就是D₁E，求出底面面積以及高，即可求出體積．

解答： （1）證明：∵底面ABCD和側(cè)面BCC₁B₁是矩形，
∴BC⊥CD，BC⊥CC₁，
又∵CD∩CC₁=C，
∴BC⊥平面DCC₁D₁，
∵D₁E?平面DCC₁D₁，∴BC⊥D₁E．
（2）在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁∥B₁BCC₁，
∴三棱錐D₁-B₁CB的體積等于三棱錐D-B₁CB的體積，
就是三棱錐B₁-DCB的體積，B₁到底面DCB的距離就是D₁E，
在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD和側(cè)面BCC₁B₁都是矩形，E是CD的中點，
D₁E⊥CD，AB=2BC=2．
AA₁=

2

，
∴D₁E=

DD12-DE2

=

2-1

=1．
所求體積：V=

1

3

S△DCB•D1E=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的性質(zhì)，幾何體的體積的求法，考查線段長的求法，解題時要認(rèn)真審題．考查轉(zhuǎn)化思想．