【題目】如圖，已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，短軸長為2，直線l與圓O：x2+y2相切，且與橢圓C相交于M、N兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）證明：為定值.

【答案】（1）1；（2）證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)橢圓中基本量的關(guān)系列式求解即可.

(2)由題可設直線,再根據(jù)直線與圓相切可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程求得的解析式,再代入化簡求值即可.

（1）解：由題意可得：,2b＝2,a2＝b2+c2,聯(lián)立解得a＝2,b＝1,c.

∴橢圓C的方程為1.

（2）證明：設M（x1,y1）,N（x2,y2）,

直線l的斜率不為0時,設直線l的方程為：my＝x﹣t,

∵直線l與圓O：x2+y2相切,

則,化為：5t2＝4m2+4.

聯(lián)立,化為：（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0,△＞0.

∴y1+y2,y1y2,

x1x2＝（my1+t）（my2+t）＝m2y1y2+mt（y1+y2）+t2.

∴x1x2+y1y2＝（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2

＝（m2+1）mt（）+t20,

直線l的斜率為0時,上式也成立.

因此0為定值.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改善眼的疲勞，達到預防近視等眼部疾病的目的.某學校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學生視力的效果，在應屆高三的全體800名學生中隨機抽取了100名學生進行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.

（1）若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以上的人數(shù)；

（2）為了研究學生的視力與眼保健操是否有關(guān)系，對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學生進行了調(diào)查，得到下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關(guān)系？

（3）在（2）中調(diào)查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取8人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習慣，在這8人中任取2人，記堅持做眼保健操的學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.

附：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司新發(fā)明了甲、乙兩種不同型號的手機，公司統(tǒng)計了消費者對這兩種型號手機的評分情況，作出如下的雷達圖，則下列說法不正確的是（ ）

A. 甲型號手機在外觀方面比較好.B. 甲、乙兩型號的系統(tǒng)評分相同.

C. 甲型號手機在性能方面比較好.D. 乙型號手機在拍照方面比較好.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝2cosxsin（x+2φ）為偶函數(shù)，其中φ∈（0，），則下列關(guān)于函數(shù)g（x）＝sin（2x+φ）的描述正確的是（ ）

A.g（x）在區(qū)間[]上的最小值為﹣1

B.g（x）的圖象可由函數(shù)f（x）的圖象向上平移一個單位，再向右平移個單位長度得到

C.g（x）的圖象的一個對稱中心為（，0）

D.g（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為[0，]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某娛樂節(jié)目參賽選手分初賽培訓、復賽三個階段選拔，將50位參選手的初賽成績（總分150分）分成[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）5組進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分析直方圖，估算這50個選手初賽成績的平均分，若節(jié)日組規(guī)定成績大于或等于120分的選手可獲得節(jié)目組組織的培訓資格，120分以下（不包括120）的則被淘汰，求這50個人中獲得培訓資格的人數(shù)；

（2）節(jié)目組從獲得培訓資格的人員中選拔部分人員進入復賽.為增加節(jié)目的娛樂性，節(jié)目組提供了以下兩種進入復賽的方式（每位選手只能選擇其中一種）

第一種方式：利用分層抽樣的方法抽取6名選手參加復賽；

第二種方式：每人最多有5次答題機會，累計答對3題或答錯3題終止答題，答對3題可參加復賽

①已知甲的初賽成績在[120，130）內(nèi)，他答對每一個問題的概率為，并且互相之間沒有影響甲要想?yún)⒓訌唾�，選擇那種方式更有利？

②若甲選擇第二種方式，求他在答題過程中答題個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其定義域為.（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）求函數(shù)的遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，且，證明: .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ， ， 點在底面內(nèi)的射影在線段上，且， ，M在線段上，且．

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）在線段AD上確定一點F，使得平面平面PAB，并求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2016年9月15中秋節(jié)(農(nóng)歷八月十五)到來之際，某月餅銷售企業(yè)進行了一項網(wǎng)上調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

男

女

合計

喜歡吃月餅人數(shù)(單位：萬人)

50

40

90

不喜歡吃月餅人數(shù)(單位：萬人)

30

20

50

合計

80

60

140

為了進一步了解中秋節(jié)期間月餅的消費量，對參與調(diào)查的喜歡吃月餅的網(wǎng)友中秋節(jié)期間消費月餅的數(shù)量進行了抽樣調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

已知該月餅廠所在銷售范圍內(nèi)有30萬人，并且該廠每年的銷售份額約占市場總量的35%.

（1）試根據(jù)所給數(shù)據(jù)分析，能否有以上的把握認為，喜歡吃月餅與性別有關(guān)？

參考公式與臨界值表：，

其中：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

（2）若忽略不喜歡月餅者的消費量，請根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計：該月餅廠恰好生產(chǎn)多少噸月餅恰好能滿足市場需求？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知動點到定點和到直線的距離之比為，設動點的軌跡為曲線，過點作垂直于軸的直線與曲線相交于兩點，直線與曲線交于兩點，與相交于一點（交點位于線段上，且與不重合）.

（1）求曲線的方程；

（2）當直線與圓相切時，四邊形的面積是否有最大值？若有，求出其最大值及對應的直線的方程；若沒有，請說明理由.

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