Question

已知幾何體A-BCDE如圖所示，其中四邊形BCDE為矩形，且BC=2，CD=

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，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCDE．
（Ⅰ）若F為邊AC上的中點(diǎn)，求證：AE∥平面BDF；
（Ⅱ）求此幾何體A-BCDE的體積．

Answer 1

分析：（I）由已知中四邊形BCDE為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及已知中F為邊AC上的中點(diǎn)，我們易由三角形中位線定理，得到AE∥FP，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理，得到答案．
（II）取BC中點(diǎn)Q，連接AQ，由已知BC=2，CD=

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，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得AQ⊥BC，結(jié)合平面ABC⊥平面BCDE．及面面垂直的性質(zhì)定理，得到AQ⊥平面BCDE
求出棱錐的底面面積和高后，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵四邊形BCDE為矩形，∴P為EC的中點(diǎn)
∵F為AC的中點(diǎn)，∴在△ACE中有AE∥FP
又AE?平面BDF，F(xiàn)P?平面BDF∴AE∥平面BDF
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)Q，連接AQ
∵AQ⊥BC且AQ=

3

∵平面ABC⊥平面BCDE，AQ?平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC∴AQ⊥平面BCDE
∴幾何體A-BCDE的體積為V=

1

3

S矩形BCDE×AQ=

1

3

×BC×CD×AQ=

1

3

×2×

3

×

3

=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，其中（1）的關(guān)鍵，是熟練掌握線面平行的判定定理，（2）的關(guān)鍵是求出幾何體（棱錐）的高．