Question

如圖，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC，M，N分別是CC₁，AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CN⊥AB₁；
（Ⅱ）求證：CN∥平面AB₁M．

Answer 1

證明：（Ⅰ）因為三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中CC₁⊥底面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC，所以BB₁⊥CN．
因為AC=BC，N是AB的中點(diǎn)，
所以CN⊥AB．                     
因為AB∩BB₁=B，
所以CN⊥平面AB B₁A₁．            
所以CN⊥AB₁．                     
（Ⅱ）證法一：連接A₁B交AB₁于P．    
因為三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，
所以P是A₁B的中點(diǎn)．
因為M，N分別是CC₁，AB的中點(diǎn)，
所以NP∥CM，且NP=CM，
所以四邊形MCNP是平行四邊形，
所以CN∥MP．                     
因為CN平面AB₁M，MP平面AB₁M，
所以CN∥平面AB₁M．              
證法二：取BB₁中點(diǎn)P，連接NP，CP． 
因為N，P分別是AB，BB₁的中點(diǎn)，
所以NP∥AB₁．
因為NP平面AB₁M，AB₁平面AB₁M，
所以NP∥平面AB₁M．              
同理 CP∥平面AB₁M．              
因為CP∩NP=P，
所以平面CNP∥平面AB₁M．        
因為CN平面CNP，
所以CN∥平面AB₁M．