Question

20．某廠家擬舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費用為x萬元時，銷售量t萬件滿足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$（其中0≤x≤a²-3a+4，a為正常數(shù)），現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬件還需投入成本（10+2t）萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為（t+$\frac{20}{t}$）萬元/萬件．
（Ⅰ）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；
（Ⅱ）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定該產(chǎn)品售價為（t+$\frac{20}{t}$）萬元，y=t×（$4+\frac{20}{t}$）-（10+2t）-x，銷售量t萬件滿足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$代入化簡得該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；
（Ⅱ）分類討論，利用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性，可求廠家的利潤最大．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，利潤y=t×（$4+\frac{20}{t}$）-（10+2t）-x
由銷售量t萬件滿足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$（其中0≤x≤a²-3a+4，a為正常數(shù)），
代入化簡可得：y=20-（$\frac{9}{x+1}$+x），（0≤x≤a²-3a+4）
（Ⅱ）y=21-（$\frac{9}{x+1}$+x+1）≤21-2$\sqrt{\frac{9}{x+1}×（x+1）}$=15，
當(dāng)且僅 $\frac{9}{x+1}$=x+1，即x=2時，上式取等號．
當(dāng)2≤a²-3a+4，即a≥2或0＜a≤1時，促銷費用投入2萬元時，廠家的利潤最大； 
當(dāng)a²-3a+4＜2，即1＜a＜2時，y=$\frac{-（x-2）（x+4）}{（x+1）^{2}}$＞0，
故y在0≤x≤a²-3a+4上單調(diào)遞增，
所以在0≤x≤a²-3a+4時，函數(shù)有最大值．促銷費用投入x=a²-3a+4萬元時，廠家的利潤最大．  
綜上述，當(dāng)a≥2或0＜a≤1時，促銷費用投入2萬元時，廠家的利潤最大；
當(dāng)1＜a＜2時，促銷費用投入x=a²-3a+4萬元時，廠家的利潤最大．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式的運用，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．