Question

11．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{3}$，左焦點F到右準(zhǔn)線l的距離為10，圓G：（x-1）²+y²=1．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是橢圓上任意一點，過點P作圓G的切線，切點為Q，過點P作右準(zhǔn)線l的垂線，垂足為H，求$\frac{PQ}{PH}$的取值范圍；
（3）是否存在以橢圓上的點M為圓心的圓M，使得過圓M上任意一點N作圓G的切線（切點為T）都滿足$\frac{NF}{NT}=\sqrt{2}$？若存在，請求出圓M的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{3}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}+c=10}\end{array}\right.$，解方程組得到a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）圓G：（x-1）²+y²=1的圓心在橢圓的右焦點上，把$\frac{PQ}{PH}$轉(zhuǎn)化為含橢圓離心率與PH的式子，求出PH的范圍可得答案；
（3）設(shè)圓M：（x-m）²+（y-n）²=r²（r＞0）滿足條件，N（x，y），可知點（m，n）滿足$\frac{{m}^{2}}{9}+\frac{{n}^{2}}{8}=1$，化圓的方程為一般式，由$\frac{NF}{NT}=\sqrt{2}$得x²+y²-6x-1=0，
代入圓的方程可得2（m-3）x+2ny-m²-n²-1+r²=0對圓M上點N（x，y）恒成立，由系數(shù)為0求得m，n，r的值，驗證滿足$\frac{{m}^{2}}{9}+\frac{{n}^{2}}{8}=1$后可得答案．

解答 解：（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{3}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}+c=10}\end{array}\right.$，解得a=3，c=1，∴b²=a²-c²=8．
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）圓G：（x-1）²+y²=1的圓心在橢圓的右焦點上，
∴$（\frac{PQ}{PH}）^{2}=\frac{P{G}^{2}-1}{P{H}^{2}}={e}^{2}-\frac{1}{P{H}^{2}}$，
∵e=$\frac{1}{3}$，PH∈[$\frac{{a}^{2}}{c}-a，\frac{{a}^{2}}{c}+a$]=[6，12]，
∴$（\frac{PQ}{PH}）^{2}∈$[$\frac{1}{12}，\frac{15}{144}$]，則$\frac{PQ}{PH}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{15}}{12}$]；
（3）設(shè)圓M：（x-m）²+（y-n）²=r²（r＞0）滿足條件，N（x，y），
其中點（m，n）滿足$\frac{{m}^{2}}{9}+\frac{{n}^{2}}{8}=1$，則x²+y²=2mx+2ny-m²-n²+r²，
$NF=\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}，NT=\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}-{1}^{2}}$，
要使$\frac{NF}{NT}=\sqrt{2}$即NF²=2NT²，即x²+y²-6x-1=0，
代入x²+y²=2mx+2ny-m²-n²+r²，
得2（m-3）x+2ny-m²-n²-1+r²=0對圓M上點N（x，y）恒成立，
只要使$\left\{\begin{array}{l}{m-3=0}\\{n=0}\\{{r}^{2}={m}^{2}+{n}^{2}+1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=0}\\{{r}^{2}=10}\end{array}\right.$，經(jīng)檢驗m=3，n=0滿足$\frac{{m}^{2}}{9}+\frac{{n}^{2}}{8}=1$，
故存在以橢圓上點M為圓心的圓M，使得過圓M上任意一點N作圓G的切線（切點為T）
都滿足$\frac{NF}{NT}=\sqrt{2}$，圓M的方程為（x-3）²+y²=10．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了圓與圓錐曲線的位置關(guān)系，對于（3）的求解是該題的難點所在，與恒成立問題進(jìn)行了交匯，試題設(shè)置難度較大．